Dzielnica ta powstała na przełomie lat 20. i 30. XX wieku na terenach, które zostały przekazane przez Ordynację Zamojską chłopom, w zamian za to mieli się zrzec praw do tzw. serwitutów.
Na wydzielonych działkach zaczęto budować drewniane domy. Wiele z nich przetrwało do dzisiaj, co nadaje wyjątkowy charakter tej dzielnicy Zwierzyńca.
Jedna z tych 6 ulic w dzielnicy Borek, przy której można zobaczyć drewnianą, oryginalną zabudowę w Zwierzyńcu, to ulica Wąska. Nazwa ulicy nie wzięła się znikąd! Ulica jest faktycznie wąska, bo ma niecałe 2 metry szerokości.